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Jul 06, 2023

Eine effiziente und genaue Interpolationsmethode für die parametrische Kurvenbearbeitung

Scientific Reports Band 12, Artikelnummer: 16000 (2022) Diesen Artikel zitieren 1219 Zugriffe 2 Zitate 1 Details zu altmetrischen Metriken Eine Unterabschnittsinterpolationsmethode basierend auf der Kurvenkrümmung

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 16000 (2022) Diesen Artikel zitieren

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2 Zitate

1 Altmetrisch

Details zu den Metriken

Um das inkompatible Problem der Bearbeitungsgenauigkeit und Bearbeitungseffizienz bei der parametrischen Kurvenbearbeitung zu lösen, wird eine Unterabschnittsinterpolationsmethode vorgeschlagen, die auf dem Kurvenkrümmungsschwellenwert basiert. In der Vorinterpolationsphase wird der Kurvenkrümmungsschwellenwert auf der Grundlage geometrischer und kinematischer Einschränkungen berechnet. Die Interpolationsschlüsselpunkte der Unterabschnitte und ihre Nenngeschwindigkeiten werden dann aus den Krümmungsschwellenpunkten und den Start- und Endpunkten der Kurve bestimmt, und die Bogenlänge jedes Unterabschnitts kann auf der Grundlage der adaptiven Simpson-Methode berechnet werden. Infolgedessen werden der S-Typ-Geschwindigkeitsplanungsalgorithmus und der bidirektionale Geschwindigkeitsscan-Algorithmus verwendet, um die globale Geschwindigkeitskurve zu aktualisieren und zu realisieren, um Geschwindigkeitsschwankungen zu reduzieren. In der Echtzeit-Interpolationsstufe werden die Kurveninterpolationsparameter mithilfe der parametrisch modifizierten Runge-Kutta-Methode zweiter Ordnung berechnet, wodurch die Interpolationsgenauigkeit erheblich verbessert und auch die Interpolationszeit verkürzt werden könnte. Schließlich wurde anhand numerischer Fälle festgestellt, dass die vorgeschlagene Methode die gesamte Interpolationsgeschwindigkeit glätten, Geschwindigkeitsschwankungen effektiv reduzieren und die Echtzeitleistung der Interpolation verbessern kann.

Der Non-Uniform Rational B-Spline (NURBS) verfügt über eine gute lokale Kontrollfähigkeit und Formausdrucksfähigkeit und wird häufig bei der Konstruktion freier Kurven und Flächen verwendet1. Die auf NURBS basierende Interpolationstechnologie kann parametrische Kurven direkt interpolieren, ohne die Kurven in eine große Anzahl von geraden Linien und Bögen aufzuteilen, wodurch häufige Beschleunigungen und Verzögerungen im Verarbeitungsprozess vermieden werden. Dies würde die Bearbeitungsgenauigkeit und -effizienz erheblich verbessern. Mit der steigenden Nachfrage nach der Bearbeitung komplexer Oberflächenteile ist die komplexe Oberflächenmodellierungs- und Bearbeitungstechnologie auf Basis der NURBS-Technologie zur Schlüsseltechnologie für die Erzielung einer hocheffizienten Präzisionsbearbeitung geworden und hat bei Wissenschaftlern immer mehr Aufmerksamkeit auf sich gezogen. Wei et al.2 untersuchten die integrale Laufradmodellierung und Werkzeugwegplanung auf der Grundlage von NURBS-Kurven und -Oberflächen und realisierten die Gestaltung und Bearbeitung komplexer Oberflächenteile auf der Grundlage einheitlicher NURBS-Parameter, deren Bearbeitungsprozess jedoch auf hochwertige NC-Werkzeugmaschinen angewiesen war NURBS-Interpolationsfunktion.

Derzeit konzentriert sich die Forschung zur NURBS-Interpolation im In- und Ausland hauptsächlich auf zwei Aspekte: Geschwindigkeitsplanungsalgorithmus und Echtzeit-Spline-Interpolationsparameterberechnung. Bei der Bearbeitung mit numerischer Steuerung (NC) bewegt sich das Werkzeug entlang des vorgegebenen Pfads der Parameterkurve, und aufgrund der kinematischen und geometrischen Einschränkungen kann die voreingestellte Geschwindigkeitsplanungsmethode die reibungslose Verbindung mehrerer Geschwindigkeitskurven gewährleisten. Wang et al.3,4,5 verwenden eine konstante Vorschubgeschwindigkeit, um die Parameterkurve zu interpolieren. Diese Methode ist förderlich für die Stabilität des Verarbeitungsprozesses für Kurven mit geringer Krümmungsänderung, für Parameterkurven mit variabler Krümmung jedoch für die Verarbeitung Genauigkeit und Verarbeitungseffizienz können nicht berücksichtigt werden. Nam et al.6,7,8,9 schlugen einen Algorithmus vor, der die Beschleunigung/Verzögerung vom S-Typ selbstanpassend plant, um die kinematischen Einschränkungen der Werkzeugmaschine zu erfüllen und einen reibungslosen Übergang der Vorschubgeschwindigkeit zu realisieren. Daher ist diese Methode eine davon Die am weitesten verbreiteten Geschwindigkeitsplanungsalgorithmen im Bereich der NC-Bearbeitung10,11,12,13,14. Lee et al.15 und Wang et al.16 haben die Geschwindigkeitsplanungsmethode der trigonometrischen Funktion vorgeschlagen, um die sanfte Änderung von Beschleunigung und Ruck zu realisieren, aber ihr Verarbeitungsprozess erreicht nur den Extremwert der Bewegungsparameter zu einzelnen Zeiten und kann ihn nicht vollständig ausfüllen Einsatz von Werkzeugmaschinen und die Bewegungseffizienz ist gering. Liu et al.17 fügten dem vorwärtsgerichteten Interpolationsmodul basierend auf der S-Typ-Beschleunigungs- und Verzögerungsplanung positive und negative Geschwindigkeitsüberprüfungspunkte hinzu und bestimmten, ob die Rückwärtsinterpolationsüberprüfungspunktinterpolation gemäß den Geschwindigkeitsbeurteilungsbedingungen in der Realität aufgerufen werden soll. Zeitinterpolationsstufe. Diese Methode kann die Interpolationseffizienz effektiv verbessern. Zhang et al.18 verwendeten fünf B-Probe-Kurven, um einen Werkzeugweg mit glatter Krümmung zu generieren, der auf theoretischen Vorschubgeschwindigkeitsbeschränkungen basiert, die durch Achsenbeschleunigung und Stoß begrenzt sind. Chen et al.19 schlugen einen Beschleunigungs-/Verzögerungssteuerungsalgorithmus mit fünf Polynomen vor, der eine flexible Steuerung der Beschleunigung erreichen kann. LI et al.20 verwendeten das Vorschubgeschwindigkeitsprofil der Sigmoidfunktion, das im Vergleich zum Polynomprofil prägnanter und im Vergleich zum trigonometrischen Profil effizienter ist.

Die Beziehung zwischen der Bogenlänge der NURBS-Kurve und den Parametern ist nichtlinear, daher ist es notwendig, die Beziehung durch eine numerische Methode auszudrücken. Bei der Interpolation der Kurve müssen die Kurvenparameter, die dem Interpolationspunkt jedes Interpolationszyklus entsprechen, gemäß der voreingestellten Geschwindigkeitsprogrammierungsmethode berechnet werden. Normalerweise werden die Interpolationspunktparameter mit der direkten Methode oder der iterativen Methode berechnet, und die direkte Methode verwendet hauptsächlich die Taylor-Reihenerweiterung. Shipitalni et al.21 verwendeten zum ersten Mal die Taylor-Entwicklungsmethode erster Ordnung, um die Parameter jedes Interpolationspunkts zu berechnen, aber der Interpolationsfehler war groß, da der Term höherer Ordnung aufgegeben wurde. Yang et al.22 übernahmen die Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung, die die Interpolationsgenauigkeit verbesserte. Die Einführung der Ableitung zweiter Ordnung erforderte jedoch einen großen Rechenaufwand, der sich auf die Echtzeitleistung auswirkte, und die Taylor-Erweiterung führte unweigerlich zu Kürzungsfehlern. Han et al.23 verwendeten die Runge-Kutta-Methode zur Berechnung der Interpolationsparameter. Die Genauigkeit dieser Methode ist relativ hoch, allerdings muss die erste Ableitung jedes Mal viermal gelöst werden. Peng et al.24 und Ji et al.25 verwendeten die Methoden Adams-Bashforth und Adams-Moultou, um Interpolationsparameter in der Echtzeit-Interpolationsphase zu berechnen, die sowohl die Interpolationsgenauigkeit als auch die Interpolationseffizienz berücksichtigen können. Die Interpolationspunktparameter-Iterationsmethode bezieht sich hauptsächlich auf die Methode „Schätzung-Korrektur“, bei der die Abweichung zwischen tatsächlichen und idealen Parametern durch Schätzung ermittelt und die Abweichung dann durch wiederholte Iteration auf einen bestimmten Bereich korrigiert wird. Zhao et al.26 schlugen eine Methode zur Berechnung der Interpolationsparameter mit Bogenlängenkorrektur und Rückkopplungskorrektur vor, die die Interpolationseffizienz und -genauigkeit verbessern kann. Ni et al.27 schlugen einen quintischen Polynom-Vorhersagealgorithmus vor und schätzten die Zielbogenlänge in der Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung, um die Berechnungsgenauigkeit und die iterative Konvergenzgeschwindigkeit zu verbessern. Die Iterationsmethode muss in jedem Interpolationszyklus wiederholt werden, und die Anzahl der Iterationen ist nicht festgelegt, was sich auf die Echtzeitleistung der Interpolation auswirkt.

In diesem Artikel wird der Datenabtast-Interpolationsalgorithmus verwendet, um die Parameterkurve in zwei Stufen zu verarbeiten: Vorinterpolation und Echtzeitinterpolation. In der Vorinterpolationsphase werden der Mindestwert der Sehnenfehlerbeschränkung sowie der Geschwindigkeits-, Beschleunigungs- und Beschleunigungsbeschränkungen als Kurvenkrümmungsschwellenwert verwendet. Festlegen der Punkte auf der Kurve, an denen die Krümmung dem Krümmungsschwellenwert entspricht und diesen überschreitet, als Schlüsselpunkte, Unterteilen der Kurve in Kurvensegmente basierend auf den Schlüsselpunkten und Berechnen der Nenngeschwindigkeit an jedem Schlüsselpunkt gemäß den Einschränkungen. Die S-förmige Geschwindigkeitsplanungsmethode wird verwendet, um eine kontinuierliche und begrenzte Beschleunigung innerhalb jedes Kurvensegments zu erreichen; An jedem Schlüsselpunkt wird das Geschwindigkeits-Zwei-Wege-Scanverfahren verwendet, um eine kontinuierliche und begrenzte Beschleunigung in benachbarten Kurvensegmenten zu erreichen. Um gleichzeitig die Genauigkeit und Effizienz der Interpolationsberechnung weiter zu verbessern, wird in der Echtzeit-Interpolationsphase eine parametrisch modifizierte Runge-Kutta-Methode zweiter Ordnung vorgeschlagen, die nach Einführung des Parameters nur drei Ableitungsberechnungen erster Ordnung verwendet Korrekturwerte, um eine hohe Berechnungsgenauigkeit zu erreichen und den komplexen Berechnungsaufwand herkömmlicher Interpolationsalgorithmen zu vermeiden. Die Kombination der vorgeschlagenen Geschwindigkeitsplanungsmethode und des parametrischen Interpolationsalgorithmus kann außerdem den Umfang der Interpolationsberechnungen reduzieren und gleichzeitig die Interpolationsgenauigkeit gewährleisten und die Echtzeitleistung der Interpolation verbessern. Abschließend wird die Gültigkeit des vorgeschlagenen Interpolationsalgorithmus durch Simulation diskutiert.

Der allgemeine Ausdruck der NURBS-Kurve28:

wobei \(k\) die Häufigkeit der NURBS-Kurven ist, \(u\) der Kurvenparameter ist, \(P_{i}\) der Kontrollscheitelpunkt ist und diese Punkte ein NURBS-Kurvenkontrollpolygon bilden können, \(\omega_{i}\) stellt das Gewicht dar, das dem Kontrollscheitelpunkt entspricht, \(N_{i,k} (u)\) ist die i-te k-Grad-B-Spline-Basisfunktion, die auf der nichtperiodischen und nichtperiodischen Ebene definiert ist -einheitlicher Knotenvektor U. Definiert durch die De-Boor-Rekursion als:

wobei \(U = \left\{ {\underbrace {0, \ldots 0,}_{k + 1}u_{k + 1} , \ldots ,u_{n} ,\underbrace {1, \ldots ,1 }_{k + 1}} \right\}\) ist eine monotone Folge reduzierter reeller Zahlen.

Da es keine exakte, präzise analytische Beziehung zwischen Kurvenparametern und Bogenlänge gibt, muss eine geeignete numerische Interpolationsmethode ausgewählt werden, um Kurvenparameter zu erhalten, und anschließend Anweisungen zur Interpolationsposition generiert werden. In diesem Artikel wird ein Parameter-modifizierter Runge-Kutta-Interpolationsalgorithmus zweiter Ordnung zur Berechnung von Echtzeit-Interpolationsparametern verwendet. Erstens kann das Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung verwendet werden, um den Anfangswert \(\tilde{u}_{i + 1}\) der Interpolationsparameter im nächsten Interpolationszyklus zu berechnen, der auf der Interpolationsgeschwindigkeit basiert \(V(u_{i} )\) und Interpolationsparameter \(u_{i}\) im aktuellen Interpolationszyklus:

wobei \(T\) die Interpolationsperiode ist, \(C^{\prime}(u_{i} )\) die Ableitung erster Ordnung der NURBS-Kurve ist, \(K_{1}\) und \(K_{ 2}\) sind gegeben durch

Nach Gl. (3) kann der anfängliche Parameterwert des neuen Interpolationspunkts erhalten und dann der Parameteränderungswert \(\Delta u_{i + 1}\) berechnet werden. Um die Geschwindigkeitsschwankung zu minimieren, sollte die tatsächliche Interpolationsverschiebung in der Interpolationsperiode gleich der idealen Interpolationsverschiebung sein, d. h. die folgende Gleichung sollte erfüllt sein:

Die Taylorreihenentwicklung erster Ordnung der NURBS-Kurvenparametergleichung \(C(u)\) beim Anfangsparameterwert \(\tilde{u}_{i + 1}\) kann wie folgt erhalten werden:

Ersetzen von Gl. (7) in Gl. (6) Erträge

Mit Hilfe der vorherigen Beziehung kann Gl. (8) kann dann geschrieben werden als

In der Gl. (9) sind die Koeffizienten \(c_{1}\), \(c_{2}\) und \(c_{3}\) definiert als

Zwei Wurzeln \(\Delta u_{i + 1,1}\) und \(\Delta u_{i + 1,2}\) des Parameterkorrekturwerts \(\Delta u_{i + 1}\) können sein erhalten durch Lösen der quadratischen Gleichung. (9):

Da die Runge-Kutta-Methode eine Genauigkeit zweiter Ordnung erreichen kann, gilt der Koeffizient \(c_{3} \ approx 0\). Daher ist \(\Delta u_{i + 1,1} \ungefähr 0\), \(\Delta u_{i + 1,2} \ungefähr - \frac{{c_{2} }}{{c_{1 } }}\). Um die Stabilitätsanforderungen des Interpolationsalgorithmus zu erfüllen, wenn Gl. (9) keine echte Lösung hat, wird der Parameterkorrekturwert auf 0 gesetzt, wenn Gl. (9) eine reelle Lösung hat, wird die kleinere Lösung als Parameterkorrekturwert verwendet. Das heißt, der Parameteränderungswert \(\Delta u_{i + 1}\) kann wie folgt berechnet werden:

Daher kann der Parameter des nächsten Interpolationspunkts der Kurve durch Addition des anfänglichen Parameterwerts und des Parameterkorrekturwerts erhalten werden:

Anhand des obigen Berechnungsprozesses der Interpolationsparameter kann deutlich festgestellt werden, dass der hier entwickelte parametrisch modifizierte Runge-Kutta-Interpolationsalgorithmus zweiter Ordnung nur drei Ableitungsberechnungen erster Ordnung durchführt und keine Ableitungsoperationen höherer Ordnung ausführt. Dadurch kann die Berechnungsgenauigkeit unter der Voraussetzung verbessert werden, dass die Berechnungskosten gesenkt werden.

Die Echtzeitsteuerung und Planung der Vorschubgeschwindigkeit sind die beiden Schlüsselfaktoren zur Realisierung der hohen Präzision und Effizienz der CNC-Bearbeitung. Die flexible Beschleunigungs- und Verzögerungssteuerung kann dafür sorgen, dass das Werkzeug und die Werkzeugmaschinenteile im Bearbeitungsprozess reibungslos laufen, ohne dass es zu Erschütterungen, Stößen, Abweichungen usw. kommt.

In diesem Artikel wird die S-Typ-Kurvenbeschleunigungs-/-verzögerungsplanungsmethode ausgewählt, um die Steuerung der Kurveninterpolationsgeschwindigkeit zu realisieren, und die Parameter-modifizierte Runge-Kutta-Methode zweiter Ordnung wird verwendet, um Interpolationspunktparameter zu berechnen, um eine Echtzeitinterpolation zu realisieren. Der Interpolationsprozess ist in Abb. 1 dargestellt.

Der Gesamtprozess der Interpolationsmethode.

In der Vorverarbeitungsphase wird der Krümmungsschwellenwert anhand von Bedingungen wie hohem Fehler und normaler Beschleunigung berechnet und dann der Punkt der maximalen Krümmung ermittelt. Der Krümmungspunkt wird als Schwellenwert bestimmt, der nicht kleiner als der Schlüsselpunkt ist. Gemäß den Schlüsselpunkten ist die NURBS-Kurve in mehrere NURBS-Perioden unterteilt. Die Berechnung der Bogenlänge jedes Abschnitts basiert auf einem S-Typ-Geschwindigkeitsplanungsalgorithmus, der den Anfang und das Ende der Nominalgeschwindigkeitskurve glatt verbindet und die endgültige Geschwindigkeitskurve interpoliert wird durch bidirektionales Geschwindigkeitsscannen erhalten. Schließlich wird der in Abschnitt 1.2 vorgeschlagene Runge-Kutta-Interpolationsalgorithmus zweiter Ordnung mit Parametermodifikation verwendet, um Echtzeit-Positionsanweisungen gemäß der geplanten Geschwindigkeitskurve zu erhalten und die Interpolation abzuschließen.

Die NURBS-Kurveninterpolation verwendet die Sehnenlänge, um die Bogenlänge anzunähern, sodass ein Sehnenfehler erzeugt wird, wie in Abb. 2 dargestellt. Der enge Kreisbogen wird üblicherweise verwendet, um die Kurve am aktuellen Interpolationspunkt \(C(u_{i})) anzunähern. \), und die Nenngeschwindigkeit \(v_{ui}\) am Punkt \(C(u_{i} )\) kann aus dem engen Kreisradius \(\rho_{i}\) der Krümmung und dem erhalten werden Akkordfehler \(\delta_{i}\) wie folgt29:

Schematische Darstellung eines Akkordfehlers.

In ähnlicher Weise kann nach Berücksichtigung der Normalbeschleunigung und des Normalrucks die Nenngeschwindigkeit \(v_{ri}\) durch Gleichung (1) angegeben werden. (15)30.

Dabei ist \(\delta_{0}\) der eingestellte maximale Sehnenfehler, \(T\) die Interpolationsperiode, \(a_{m}\) und \(j_{m}\) die maximale Beschleunigung und das Maximum von der Maschine zugelassener Ruck.

Bezeichne \(\kappa = \frac{1}{\rho }\), wenn \(v_{ri}\) gleich der maximalen Federrate \(v_{m}\) ist, die Krümmungsschwelle der Parameterkurve \( \kappa_{0}\) kann wie in Gl. erhalten werden. (16).

Nachdem der Kurvenkrümmungsschwellenwert \(\kappa_{0}\) ermittelt wurde, werden alle Krümmungsmaximumpunkte auf der Kurve ermittelt. Wenn die Krümmung an diesem Krümmungsmaximumpunkt auch erfüllt ist, dass k größer oder gleich \(\kappa_{0}\) ist, werden diese Punkte als Schlüsselpunkte bestimmt. Die resultierenden Schlüsselpunkte, einschließlich der Start- und Endpunkte der Kurve, sind alle Schlüsselpunkte, wie in Abb. 3 dargestellt. Setzen Sie dann die Nenngeschwindigkeit am ersten und letzten Schlüsselpunkt auf Null und erhalten Sie die Nenngeschwindigkeit \(v_{ ri}\) jedes Schlüsselpunkts außer dem ersten und letzten Schlüsselpunkt aus Gl. (15). Die Kurve ist an Schlüsselpunkten in mehrere Abschnitte unterteilt, und die Endpunktgeschwindigkeit jedes Unterabschnitts ist die Nenngeschwindigkeit \(v_{ri}\). Anschließend wird die Bogenlänge S jedes Unterabschnitts mithilfe der selbstadaptiven Simpson-Methode bestimmt. Schließlich wird die Geschwindigkeitsfunktion der Anfangs- und Endgrenzgeschwindigkeiten gemäß der S-Typ-Beschleunigungs- und Verzögerungsmethode und dem bidirektionalen Geschwindigkeitsscan-Algorithmus bestimmt.

Flussdiagramm der Beschleunigungs- und Verzögerungsplanung.

Die NURBS-Kurve ist in mehrere Untersegmente unterteilt, und die Start- und Endgeschwindigkeiten jedes Untersegments werden gemäß der voreingestellten Beschleunigungs- und Verzögerungsmethode verbunden. Um eine qualitativ hochwertige und effiziente Bearbeitung zu realisieren, wird unten der Beschleunigungs- und Verzögerungssteuerungsalgorithmus vom S-Typ angegeben.

Wenn die Maximalwerte der Beschleunigung und des Rucks \(a_{\max }\) und \(J_{t}\) sind und die Anfangs- und Endgeschwindigkeit \(v_{s}\) und \(v_{e} \), der S-förmige Beschleunigungs- und Verzögerungsplanungsentwurf ist in Abb. 4 dargestellt.

S-Typ-Beschleunigungs- und Verzögerungsplanung von (a) erhöhter Beschleunigung – konstanter Rate – reduzierter Beschleunigung, (b) reduzierter Beschleunigung – konstanter Rate – reduzierter Verzögerung, (c) erhöhter Beschleunigung – erhöhter Verzögerung, (d) reduzierter Beschleunigung – reduzierter Verzögerung.

Um die Beschleunigungs- und Verzögerungseffizienz sicherzustellen, werden die Pfade jedes Unterabschnitts entsprechend der Bogenlänge s, der Anfangsgeschwindigkeit \(v_{s}\) und der Endgeschwindigkeit \(v_{e}\) jedes Abschnitts verbunden die Kurve. Die vier üblichen Geschwindigkeitskurven sind in Abb. 4 dargestellt. Wenn die Teilbogenlänge lang ist, ist die Geschwindigkeitskurve vom Typ erhöhte Beschleunigung – konstante Rate – reduzierte Beschleunigung (reduzierte Beschleunigung – konstante Rate – reduzierte Verzögerung). Wenn die Teilbogenlänge kurz ist, ist die Geschwindigkeitskurve vom Typ „erhöhte Beschleunigung – erhöhte Verzögerung“ (reduzierte Beschleunigung – verringerte Verzögerung).

Unter den Randbedingungen der maximalen Beschleunigung \(a_{\max }\) und des Rucks \(J_{t}\), der Zeit der erhöhten Beschleunigung (reduzierte Beschleunigung) \(t_{1}\), der Zeit der konstanten Geschwindigkeit \ (t_{2}\), die Zeit der reduzierten Beschleunigung (reduzierten Verzögerung) \(t_{3}\) der S-Typ-Beschleunigungs- und Verzögerungsplanung wird wie folgt ausgedrückt:

Angenommen, die Endbeschleunigung \(a_{\max }\) im Prozess der Beschleunigung/Verzögerung ist gleich \(J_{t} t_{1}\), dann ist die Beziehung zwischen Geschwindigkeit \(v\) und Zeit \ (t\) im Prozess der Beschleunigung/Verzögerung kann ausgedrückt werden als:

wobei „\(\pm\)“ „\(+\)“ und „\(-\)“ im Prozess der Geschwindigkeitserhöhung ist; „\(\mp\)“ ist jedoch „\(-\)“ und „\(+\)“ im Prozess der Geschwindigkeitsabnahme.

Daher ist die Beziehung zwischen der Verschiebung \(s\) und der Zeit \(t\) im Prozess der Beschleunigung/Verzögerung:

Gemäß dem obigen Beschleunigungs- und Verzögerungsprozess vom S-Typ ist die Gesamtverschiebung \(s\) der Beschleunigungs-/Verzögerungsbewegung von der Startgeschwindigkeit \(v_{s}\) bis zur Endgeschwindigkeit \(v_{e}\) Ist:

Da die genaue Lösung der Bogenlänge jeder Kurve nicht erhalten werden kann, werden im Allgemeinen numerische Methoden zur Berechnung des Näherungswerts der Bogenlänge verwendet. Um die Berechnungsgenauigkeit zu gewährleisten und die numerische Berechnungseffizienz zu berücksichtigen, wird hier die adaptive Simpson-Methode31 zur Berechnung der Bogenlänge \(s(u_{i} ,u_{i + 1} )\ ​​verwendet:

wobei \(C^{\prime}(u_{i} )\) und \(C^{\prime}(u_{i + 1} )\) die ersten Ableitungen der Kurve bei den Parametern \(u_{i }\) und \(u_{i + 1}\).

Nach Gl. (21) werden die Bogenlängen von Kurven zwischen Schlüsselpunkten berechnet. Abschnitt 2.1 bestimmt nur die Geschwindigkeit von Schlüsselpunkten gemäß geometrischen und kinematischen Einschränkungen. Mit dieser Methode kann nur sichergestellt werden, dass die Geschwindigkeit an den Schlüsselpunkten nicht dazu führt, dass der Sehnenfehler den Grenzwert überschreitet, und dass Geschwindigkeit, Beschleunigung und erhöhte Beschleunigung innerhalb des vorgegebenen Bereichs begrenzt werden. Außerdem müssen wir die Bogenlänge der Kurven entsprechend dem entscheidenden Punkt berücksichtigen, ob sie die erforderliche Bogenlänge der Beschleunigung und Verzögerung während der Echtzeitinterpolation stückweise erfüllen können. Wenn die tatsächliche Bogenlänge zwischen Schlüsselpunkten nicht der erforderlichen Bogenlänge entsprechen kann, muss die Geschwindigkeit jedes Schlüsselpunkts weiter aktualisiert werden, um sicherzustellen, dass die Gesamtgeschwindigkeit der Kurve nach der Segmentierung an jedem Schlüsselpunkt gleichmäßig ist. Um die Effizienz der Geschwindigkeitsaktualisierung an Schlüsselpunkten zu verbessern, wird daher eine Geschwindigkeitsabtastung mit bidirektionalem Vorwärts- und Rückwärtsfahren eingesetzt, um die Geschwindigkeit an Schlüsselpunkten entsprechend der Bogenlänge jedes Untersegments weiter zu aktualisieren. Der Scanvorgang ist in Abb. 5 dargestellt.

Aktualisieren Sie das Flussdiagramm der bidirektionalen Scangeschwindigkeit wichtiger Punkte.

Lassen Sie i = 0 den anfänglichen Schlüsselpunkt darstellen, dh den Anfang der Kurve. \(i = N_{fs}\) stellt den Endschlüsselpunkt dar, dh das Ende der Kurve; \(v_{ri}\) ist die Geschwindigkeit des vorherigen Schlüsselpunkts; \(v_{ri + 1}\) ist die Geschwindigkeit des nächsten Schlüsselpunkts. Beim umgekehrten Scannen ist der erste Satz \(i = N_{fs}\). Wenn \(v_{ri}\) größer als \(v_{ri + 1}\) ist, handelt es sich um den Prozess der Verzögerung; Ansonsten ist der Prozess der Beschleunigung. Dann wird die Kurvenbogenlänge S zwischen den Schlüsselpunkten \(ri\) und \(ri + 1\) mit der kleineren Bogenlänge \(s_{req} \left( {v_{ri} ,v_{ri + 1} } \right)\) benötigt von der vorherigen Schlüsselpunktgeschwindigkeit \(v_{ri}\) zur nächsten Schlüsselpunktgeschwindigkeit \(v_{ri + 1}\) gemäß Gl. (20), wenn \(s_{req} \left( {v_{ri} ,v_{ri + 1} } \right) \le s_{ri}\), dann kann die Bogenlänge dieses Abschnitts die Verzögerung vervollständigen Verfahren; Andernfalls kann der Verzögerungsprozess nicht realisiert werden. Dann wird die Dichotomiemethode angewendet, um die Geschwindigkeit \(v_{r,temp}\) zwischen der Geschwindigkeit \(v_{ri}\) und \(v_{ri + 1}\) so auszuwählen, dass sie \(s_{req } (v_{r,temp} ,v_{ri + 1} ) = s_{ri}\), wird die Geschwindigkeit an diesem Schlüsselpunkt auf \(v_{r,temp}\) aktualisiert, sodass sie der Verzögerung entspricht Prozess, und der obige Prozess wird wiederholt, bis der Prozess der Verzögerungsumkehrverfolgung bei \(i = 0\) beendet ist; Beim Vorwärtsscannen beginnt der Wert bei \(i = 0\), wenn \(v_{ri} < v_{ri + 1}\), erhöht sich die Geschwindigkeit. Dann wird die Kurvenbogenlänge \(s_{ri}\) zwischen den Schlüsselpunkten \(ri\) und \(ri + 1\) mit der Bogenlänge \(s_{req} \left( {v_{ri}) verglichen. ,v_{ri + 1} } \right)\), erforderlich von der vorherigen Schlüsselpunktgeschwindigkeit von \(v_{ri}\) bis zur nächsten Schlüsselpunktgeschwindigkeit von \(v_{ri + 1}\), gemäß Gl. (20). Wenn \(s_{req} \left( {v_{ri} ,v_{ri + 1} } \right) \le s_{ri}\), kann die Bogenlänge dieses Abschnitts den Geschwindigkeitserhöhungsprozess abschließen; Andernfalls kann der Geschwindigkeitserhöhungsprozess nicht realisiert werden. Die Dichotomiemethode wird angewendet, um die Geschwindigkeit \(v_{rF,temp}\) zwischen der Geschwindigkeit \(v_{ri}\) und der Geschwindigkeit \(v_{ri + 1}\) so auszuwählen, dass sie \(s_ {req} (v_{ri} ,v_{rF,temp} ) = s_{ri}\), und die Geschwindigkeit an diesem Schlüsselpunkt wird auf \(v_{rF,temp}\) aktualisiert, sodass sie der Geschwindigkeit entspricht Prozess verringern. Der obige Vorgang wird wiederholt, bis der umgekehrte Scanvorgang zur Geschwindigkeitsreduzierung bei \(i = 0\) abgeschlossen ist. Letztendlich wird der Schlüsselpunktverbund \(v_{i}\) als Minimalwert nach der bidirektionalen Vorwärts- und Rückwärts-Sweep-Aktualisierung angenommen.

Dabei ist \(v_{ri}\) die Nenngeschwindigkeit, \(v_{rF,temp}\) die Vorwärtsscangeschwindigkeit und \(v_{r,temp}\) die Rückwärtsscangeschwindigkeit.

Nach der Aktualisierung des Vorwärts- und Rückwärtsgeschwindigkeitsscans können die Geschwindigkeitswerte an jedem Schlüsselpunkt innerhalb des Einschränkungsbereichs weiter eingeschränkt werden. Es werden die Schlüsselpunkte und ihre zulässigen Geschwindigkeitswerte ermittelt. Die geplante Vorschubgeschwindigkeit übernimmt an Schlüsselpunkten den eingeschränkten Geschwindigkeitswert, und an Nicht-Schlüsselpunkten ändert sich die Geschwindigkeit sanft gemäß der in Abschnitt 2.2 geplanten S-Typ-Beschleunigungs- und Verzögerungsmethode.

Nachdem die Vorschubgeschwindigkeitsplanung abgeschlossen war, wurde die Sekte. 1.2 Die Methode zur Berechnung der Interpolationsparameter wurde übernommen, um eine Stichprobe mit einer festen Periode T basierend auf der S-Typ-Beschleunigungs- und Verzögerungsplanung abzutasten und das Bogenlängeninkrement des aktuellen Interpolationszyklus \(\Delta s\) zu berechnen, um den nächsten Interpolationsparameter weiter zu bestimmen \(u\) und bestimmen Sie schließlich die Interpolationstrajektorienkurve.

Um die Wirksamkeit des in diesem Artikel vorgeschlagenen Algorithmus zu überprüfen, wurde die MATLAB-Software verwendet, um eine kubische NURBS-Kurve mit 51 Kontrollpunkten zu simulieren, wie in Abb. 6 dargestellt. Gleichzeitig wurden die Simulationsparameter wie in Tabelle 1 dargestellt eingestellt.

NURBS-Kurve.

In der Vorverarbeitungsphase ermittelt der Geschwindigkeitsplanungsalgorithmus zunächst den Krümmungsschwellenwert gemäß den Einschränkungen, sucht dann nach allen Schlüsselpunkten, segmentiert die NURBS-Kurve an den Schlüsselpunkten und aktualisiert schließlich die Schlüsselpunktgeschwindigkeiten durch S- Typische Beschleunigungs-/Verzögerungsmethoden und Vorwärtsabtastung des Beschleunigungsprozesses und Rückwärtsabtastung des Geschwindigkeitsverringerungsprozesses, um die globale Lichtglätte der Geschwindigkeiten sicherzustellen. Gemäß den in Tabelle 2 und Gl. festgelegten Simulationsparametern. (21) wird der Schwellenwert der Krümmung zu \(\kappa_{0} = 70,7\,\upmu {\text{m}}^{ - 1}\) mit insgesamt 28 Schlüsselpunkten und 27 berechnet Untersegmente, wie in den Abb. dargestellt. 7, 8 zeigt die Nenngeschwindigkeit an jedem Schlüsselpunkt und die Geschwindigkeit nach einer bidirektionalen Scanaktualisierung.

Kernpunkt.

Wichtiges Geschwindigkeitsupdate.

Die in diesem Artikel vorgeschlagene Geschwindigkeitsplanungsmethode wird verwendet, um die Vorschubgeschwindigkeits-, Normalbeschleunigungs- und Normalruckkurven der Gesamtkurve im Interpolationsprozess zu erhalten, wie in den Abbildungen dargestellt. 9, 10 und 11. Jede Komponente ist innerhalb des festgelegten Bereichs gut eingeschränkt. Aus Abb. 11 ist ersichtlich, dass der der Geschwindigkeitsplanungsmethode entsprechende Ruck an mehreren Positionen einen Maximalwert erreichte. Abbildung 12 zeigt die Akkordfehlerkurve im Interpolationsprozess. Es ist ersichtlich, dass der Verarbeitungsfehler vollständig auf den zulässigen Verarbeitungsbereich beschränkt ist.

Vorschubgeschwindigkeitskurve.

Beschleunigungskurve.

Ruckkurve.

Akkordfehler.

Um die Vorteile der stückweisen bidirektionalen NURBS-Kurvengeschwindigkeitsaktualisierungsmethode basierend auf Schlüsselpunkten und des in diesem Artikel vorgeschlagenen Runge-Kutta-Interpolationsalgorithmus zweiter Ordnung mit Parametermodifikation weiter zu überprüfen, wurden die Simulationsergebnisse mit der Taylor-Erweiterungsmethode erster Ordnung verglichen die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung, die auch nur die NURBS-Ableitung erster Ordnung berechnen muss. Die Volatilität der Vorschubgeschwindigkeit an jedem Interpolationspunkt wurde berechnet \(\delta_{i}\)32. Die Volatilität der Vorschubgeschwindigkeit der drei Methoden ist in Abb. 13 dargestellt, und der Vergleich der Berechnungszeit ist in Tabelle 2 dargestellt.

Vorschubgeschwindigkeitsschwankung von drei Interpolationsalgorithmen (a) Taylor-Entwicklungsmethode erster Ordnung, (b) Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung, (c) Parameterkorrigierte Runge-Kutta-Methode zweiter Ordnung.

Die Taylor-Erweiterungsmethode erster Ordnung benötigt die Ableitung erster Ordnung nur einmal bei der Berechnung der Interpolationsparameter, was die kürzeste Berechnungszeit hat. Aufgrund des großen Kürzungsfehlers ist jedoch die Geschwindigkeitsschwankungsrate am größten. Die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung erfordert insgesamt vier Ableitungsoperationen erster Ordnung, und die Berechnungszeit ist am längsten, die Berechnungsgenauigkeit ist höher und die Geschwindigkeitsschwankung ist kleiner als bei der Taylor-Erweiterungsmethode erster Ordnung. Die in diesem Artikel verwendete Methode erfordert insgesamt drei Ableitungsberechnungen erster Ordnung, darunter zwei Ableitungsberechnungen erster Ordnung und eine Ableitungsberechnung bei der Berechnung der Parameterkorrektur, sodass die Geschwindigkeitsschwankung am kleinsten und die Berechnungszeit für die Interpolationsparameter kürzer ist als die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung und größer als die Taylor-Entwicklungsmethode erster Ordnung, und die Interpolationsgenauigkeit ist höher.

In diesem Artikel wird ein NURBS-Interpolationsalgorithmus mit Bogenlängensegmentierung vorgeschlagen. Basierend auf geometrischen und kinematischen Einschränkungen wird der Krümmungsschwellenwert berechnet, um die Nenngeschwindigkeit an den Schlüsselpunkten zu erhalten. NURBS-Kurven werden an den Schlüsselpunkten segmentiert und die Bogenlängen jedes Segments werden mit der adaptiven Simpson-Methode berechnet. Basierend auf der S-förmigen Geschwindigkeitsplanungsmethode wird die Geschwindigkeit an den Schlüsselpunkten durch bidirektionales Scannen aktualisiert und eine globale Glättung der Geschwindigkeit realisiert. In der Phase der Echtzeitinterpolation wird zur Verbesserung der Echtzeitleistung der Interpolationsberechnung die Runge-Kutta-Methode zweiter Ordnung mit Parameterkorrektur verwendet, um die Parameter der Echtzeitinterpolationskurve zu berechnen, wodurch die Parameter effektiv reduziert werden können Reduzieren Sie den Rechenaufwand bei der Interpolation und sorgen Sie für eine hohe Interpolationsgenauigkeit. Die Interpolationssimulation bestätigt, dass die vorgeschlagene Geschwindigkeitsplanungsmethode und die Interpolationsparameter-Berechnungsmethode die Interpolationsgenauigkeit und Interpolations-Echtzeitleistung gut gewährleisten können.

Die während der aktuellen Studie verwendeten oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim jeweiligen Autor erhältlich.

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Die Finanzierung erfolgte durch das Wissenschafts- und Technologieplanungsprojekt des Wissenschafts- und Technologiebüros der Provinz Shaanxi (Zuschuss Nr. 2016GY-019). Wissenschafts- und Technologieplanungsprojekt des Wissenschafts- und Technologiebüros der Stadt XianYang (Zuschuss Nr. S2021ZDZX-GY-0058).

Hochschule für Maschinenbau, Universität für Wissenschaft und Technologie Xi'an, Xi'an, 710054, China

Juan Wei, Chao Sun, Xue-jing Zhang und Er-jie Wang

Shaanxi Provincial Key Laboratory of Mine Electromechanical Equipment Intelligent Monitoring, Xi'an, 710054, China

Juan Wei

Fakultät für Maschinenbau, California State University, Fresno, Fresno, CA, 93740-8030, USA

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JW: Konzeptualisierung, Schreiben – Begutachtung, Bearbeitung und Akquise der finanziellen Unterstützung für das Projekt, das zu dieser Veröffentlichung führte. CS: Datenkuration, Schreiben – Vorbereitung und Bearbeitung von Originalentwürfen. XZ: Methodik, Schreiben – Originalentwurfsvorbereitung. EW: Schreiben – Vorbereitung und Bearbeitung des Originalentwurfs. DL: Schreiben – Überprüfen und Bearbeiten.

Korrespondenz mit Juan Wei.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

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Eingegangen: 02. Juli 2022

Angenommen: 07. September 2022

Veröffentlicht: 26. September 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-20018-9

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